Programme de mathématiques (1^erS)

Extrait du B.O (HS n°7 du 31/08/00)

Contenus

Modalités de mise en oeuvre

Généralités sur les fonctions

Opérations sur les fonctions:  u+v, λu, u v, , uov.
Définition d’une fonction polynôme et de son degré.

Sens de variation et représentation graphique d’une fonction de la forme u + λ, λu, la fonction u étant connue. Sens de variation de uov, u et v étant monotones.

Résolution de l’équation du second degré.
Étude du signe d’un trinôme.

On partira des fonctions étudiées en classe de 2nde. Sur des exemples et selon le problème traité, on proposera plusieurs écritures d’une même fonction trinôme, d’une même fonction homogra-phique.

On travaillera, à l’aide de grapheurs, sur des familles de courbes représentatives de fonctions associées à deux fonctions données u et v : u+ λ, λu, u+v, |u|, x α u (λx) et x α u (x+ λ).

On aboutira ici aux formules usuelles donnant les racines et la forme factorisée d’un trinôme du second degré.

Dérivation

Approche cinématique ou graphique du concept de nombre dérivé d’une fonction en un point.

Nombre dérivé d’une fonction en un point: définition comme

Fonction dérivée.

Tangente à la courbe représentative d’une fonction f dérivable; approxi-mation affine associée de la fonction.

Dérivée des fonctions usuelles: x α xⁿ, x α √x, x α cos x et x α sin x.
Dérivée d’une somme, d’un produit, d’un quotient et de x α f (a x+ b) .

Lien entre signe de la dérivée et variations.

Plusieurs démarches sont possibles: passage de la vitesse moyenne à la vitesse instantanée pour des mouvements rectilignes suivant des lois horaires élémentaires (trinôme du second degré dans un premier temps); zooms successifs sur une représen-tation graphique obtenue à l’écran de la calculatrice.

On construira point par point un ou deux exemples d’approximation de courbe intégrale définie par:

y’ = f (t) et y (t0) = y0 en utilisant l’approximation

Δf ≈ f ’(a) Δt.

On justifiera le résultat donnant la dérivée de u, v et .

On étudiera, sur quelques exemples, le sens de variation de fonctions polynômes de degré 2 ou 3, de fonctions homographiques ou de fonctions rationnelles très simples. On introduira les notions et le vocabulaire usuels (extremum, majorant, mino- rant) et, de l’étude du sens de variations, on déduira des encadrements d’une fonction sur un intervalle.

Comportement asymptotique de certaines fonctions

Asymptotes verticales, horizontales ou obli- ques.

On étudiera, sur des exemples très simples (fonctions polynômes de degré 2 ou 3, fonctions rationnelles du type x α ax + b + h(x) avec h tendant vers 0 en +∞ ou -∞), les limites aux bornes de l’intervalle de définition et les asymptotes éventuelles.

Suites

Modes de générations d’une suite numérique.Suite croissante, suite dé- croissante.Suites arithmétiques et suites géométriques.

Notion intuitive de limite infinie per- çue à partir d’exemples.
Définition de la convergence d’une suite, utilisation de cette définition.

Limite d’une suite géométrique.

Étude de l’évolution de phénomènes discrets amenant à une relation de récurrence.
Calcul des termes d’une suite sur calculatrice ou tableur; observation des vitesses de croissance (resp. de décroissance) pour des suites ari- thmétiques et des suites géométriques.
Comparaison des valeurs des premiers termes des suites (1 + t)ⁿ et 1 + n t pour différentes valeurs de t ( la notion de dérivée).
On pourra étudier numériquement, sur ordinateur ou calculatrice, le temps de doublement d’un capital placé à taux d’intérêt constant, la période de désintégration d’une substance radioactive, etc.

On utilisera au choix une des définitions suivantes pour la convergence d’une suite vers a :
Tout intervalle ouvert contenant a contient tous les termes de la suite sauf un nombre fini d’entre eux.
Tout intervalle ouvert contenant a contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang.

Démonstration du théorème “des gendarmes”; les théorèmes sur la somme, le produit et le quotient de suites convergentes seront pour la plupart admis.

On pourra mettre la définition en oeuvre pour étudier une limite (exemple: suite (wn) définie par wn = max (un, vn)) ou pour montrer l’unicité de la limite.

On montrera avec des exemples la variété de comportement de suites convergeant vers une même limite.

Contenus

Modalités de mise en oeuvre

Sections planes

Sections planes d'un cube, d'un tétraèdre.

Pour aborder ces problèmes, les élèves pourront s'aider de manipulations de solides et d'un logiciel de géométrie.

Repérage

Repérage polaire dans le plan et tri- gonométrie; mesures des angles o- rientés, mesure principale, relation de Chasles, lignes trigonométriques des angles associés.

Repérage cartésien dans l'espace. Distance entre deux points en repère orthonormal.

Repérage d'abord d'un point du cercle trigono-métrique, à l'aide d'un réel défini à un multiple près de 2π; lien entre repérage polaire et repérage cartésien.

En particulier, équation de quelques objets de l'espace : plans parallèles aux plans de coordon- nées; sphère centrée à l'origine, cône de sommet l'origine et cylindre, chacun ayant pour axe un axe du repère.

Géométrie vectorielle

Calcul vectoriel dans l'espace.

Barycentre de quelques points pon- dérés dans le plan et l'espace. Associativité du barycentre.

Produit scalaire dans le plan; défi- nition, propriétés.

Applications du produit scalaire : projeté orthogonal d'un vecteur sur un axe; calculs de longueurs.

On étendra à l'espace les opérations sur les vec- teurs du plan. On introduira la notion de vecteurs coplanaires.

On utilisera la notion de barycentre pour établir des alignements de points, des points de concours de droites.

Propriétés de bilinéarité, de symétrie et expression analytique dans un repère orthonormal.

Équation d'une droite à l'aide d'un vecteur normal, équation d'un cercle défini par son centre et son rayon ou par son diamètre. Calculs d'angles, de longueurs et d'aires sur des figures planes en liaison avec le produit scalaire ; on établira et utilisera la formule dite d'Al Kashi, le théorème de la médiane et les formules d'addition et de duplication pour les fonctions cosinus et sinus.

Transformations

Translations et homothéties dans le plan et l'espace : définitions ; image d'un couple de points; effet sur l'alignement, le barycentre, les angles orientés, les longueurs, les aires et les volumes; image d'une figure (segment, droite, cercle)..

Toutes les transformations connues seront utilisées dans l'étude des configurations, pour la déter- mination de lieux géométriques et dans la recherche de problèmes de construction, en particulier au travers des logiciels de géométrie.

Lieux géométrique du plan

Les logiciels de géométrie dynamique seront utilisés pour visualiser certains lieux.

On choisira quelques exemples mettant en évidence la diversité des méthodes de recherche (propriétés des configurations, vecteurs,produit scalaire, trans- formations, géométrie analytique). On veillera à traiter des cas nécessitant de démontrer une double inclusion.

Contenus

Modalités de mise en oeuvre

Statistique

Variance et écart-type.
Diagramme en boîte; intervalle inter-quartile.Influence sur l’écart-type et l’intervalle interquartile d’une trans-formation affine des données.

On cherchera des résumés pertinents et on commentera les diagrammes en boîtes de quan- tités numériques associées à des séries simulées ou non.

On observera l’influence des valeurs extrêmes d’une série sur l’écart-type ainsi que la fluctuation de l’écart-type entre séries de même taille. L’usage d’un tableur ou d’une calculatrice permettent d’observer dynamiquement et en temps réel, les effets des modifications des données.

Probabilités

Définition d’une loi de probabilité sur un ensemble fini. Espérance, variance, écart-type d’une loi de probabilité. Probabilité d’un événe- ment, de la réunion et de l’inter- section d’événements. Cas de l’é- quiprobabilité.

Variable aléatoire, loi d’une variable aléatoire, espérance, variance, écart-type.

Modélisation d’expériences aléa- toires de référence (lancers d’un ou plusieurs dés ou pièces discernables ou non, tirage au hasard dans une urne, choix de chiffres au hasard, etc.).

Le lien entre loi de probabilité et distributions de fréquences sera éclairé par un énoncé vulgarisé de la loi des grands nombres. On expliquera ainsi la convergence des moyennes expliquera ainsi la convergence des moyennes vers l’espérance et des variances empiriques vers les variances théoriques; on illustrera ceci par des simulations dans des cas simples. On pourra aussi illustrer cette loi avec les diagrammes en boîtes obtenus en simulant par exemple 100 sondages de taille n, pour n= 10; 100; 1000

On simulera des lois de probabilités simples obtenues comme images d’une loi équirépartie par une variable aléatoire (sondage, somme des faces de deux dés, etc.).