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Equation et inéquation du second degré - Discriminant et application au trinôme

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EQUATION ET INEQUATION
DU SECOND DEGRE
(1erS)


I - Résolution de l'équation du second degré

- Définition

On appelle équation du second degré une équation de la forme :
a x2 + b x + c = 0 avec b et c ∈ ℝ (a ≠ 0)

Ses solutions, si elles existent, sont appelées racines.

- Résolution

On calcule le discriminant : Δ = b2 - 4 ac

▪ si Δ > 0 => 2 racines distinctes :racines identiques

▪ si Δ = 0 => 2 racines identiques :racines distinctes x1 et racines distinctes x2

▪ si Δ < 0 => pas de racines.

- Interprétation graphique


Δ > 0
2 racines distinctes

Δ = 0
2 racines identiques

Δ < 0
pas de racines

a > 0
Parabole dirigée vers le haut

parabole vers le haut (discriminant positif)

parabole vers le haut (discriminant nul)

parabole vers le haut (discriminant négatif)

a < 0
Parabole dirigée vers le bas

parabole vers le bas (discriminant positif)

parabole vers le bas (discriminant nul)

parabole vers le bas (discriminant négatif)

II - Application au fonction trinôme

- Factorisation

Prenons un trinôme définie par : f (x) = a x2 + b x + c    ( x ∈ ℝ )

▪ si Δ > 0, on a : f(x) = a ( x - x1) ( x - x2)

▪ si Δ = 0, on a : f(x) = a ( x - x1)2 = ( x - x2)2 car x1 = x2

▪ si Δ < 0, le trinôme ne peut pas se factoriser.

- Signe

Prenons un trinôme définit par : f (x) = a x2 + b x + c    ( x ∈ ℝ )

▪ si Δ < 0, le trinôme a le même signe que a pour tout réel x

▪ si Δ = 0, le trinôme a le même signe que a pour tout x et s'annule en formule

▪ si Δ > 0, le signe du trinôme peut se définir par le tableau suivant :

signe trinôme


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